A. 定积分应用
其实我觉得，“定积分有什么应用”这个问题和“加法有什么应用”差不多是一样的，基本上在哪里都能遇到。以我本人学物理的来说，求导积分这种运算的使用频率应该和做乘法差不多了吧。
比如这学期力学，积分主要在算位移/功/转动惯量以及解微分方程使用初等积分法；下学期电磁学和热学，也就是算算电量/通量/做功/熵变。总之，从定义上出现了与积分相关的都能够用积分来算。
当然最多的还是做功了，下学期有多变量，就要学曲线积分和曲面积分。曲线积分直接就对应了做功这个东西，曲面积分对应了通量。回到计算上，还是选取一个坐标系→将曲线/曲面用参数方程表示→化为重积分→化为累次积分，然后就算出来了。说到底还是最开始的R上的黎曼积分。
对积分更详细的研究在实变函数里面进行。俗话说“实变函数学十遍”，不过本身物理专业没啥要求，所以我也学得不精。大概来说，原先在区间上的积分想要推广到一般的集合上，因而引进了测度的概念，进而积分，不细说了。
另外的是微分形式的积分，把积分推广到微分流形上，曲线和曲面积分算是其特例。这个算是很重要的内容。（对物理来说）
其实好象已经跑题了。我们这学期教材上的应用就是：算功算力算面积算体积。嗯，“定积分的应用”那一节的内容差不多就是这些，我也没细看。不过，真正的应用，是看到问题之后，能够明白这个问题的思想就是积分的思想，然后用积分把它做出来。虽然书上没有写出来，但这应该是它教的东西。