A. 定積分應用
其實我覺得，「定積分有什麼應用」這個問題和「加法有什麼應用」差不多是一樣的，基本上在哪裡都能遇到。以我本人學物理的來說，求導積分這種運算的使用頻率應該和做乘法差不多了吧。
比如這學期力學，積分主要在算位移/功/轉動慣量以及解微分方程使用初等積分法；下學期電磁學和熱學，也就是算算電量/通量/做功/熵變。總之，從定義上出現了與積分相關的都能夠用積分來算。
當然最多的還是做功了，下學期有多變數，就要學曲線積分和曲面積分。曲線積分直接就對應了做功這個東西，曲面積分對應了通量。回到計算上，還是選取一個坐標系→將曲線/曲面用參數方程表示→化為重積分→化為累次積分，然後就算出來了。說到底還是最開始的R上的黎曼積分。
對積分更詳細的研究在實變函數裡面進行。俗話說「實變函數學十遍」，不過本身物理專業沒啥要求，所以我也學得不精。大概來說，原先在區間上的積分想要推廣到一般的集合上，因而引進了測度的概念，進而積分，不細說了。
另外的是微分形式的積分，把積分推廣到微分流形上，曲線和曲面積分算是其特例。這個算是很重要的內容。（對物理來說）
其實好象已經跑題了。我們這學期教材上的應用就是：算功算力算面積算體積。嗯，「定積分的應用」那一節的內容差不多就是這些，我也沒細看。不過，真正的應用，是看到問題之後，能夠明白這個問題的思想就是積分的思想，然後用積分把它做出來。雖然書上沒有寫出來，但這應該是它教的東西。